Image d'une suite convergente par une fonction continue

Propriété  (admise)

On considère une fonction  \(f\) définie sur un intervalle  \(I\) et une suite  \((u_n)\) d’éléments de \(I\) .
Si  \(f\) est continue sur  \(I\) et si la suite  \((u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) de l'intervalle  \(I\) , alors la suite \((f(u_n))\) converge vers \(f(\ell)\) .

Remarque

Cette propriété permet de chercher la valeur de la limite d'une suite définie par une relation de récurrence du type \(u_{n+1}=f(u_n)\) , où \(f\)  est une fonction continue. En effet, si on peut prouver que la suite \((u_n)\)  converge vers \(\ell\) , on peut alors, sous certaines conditions, affirmer que \(\ell\)  doit être une solution de l'équation \(f(x)=x\) . Une solution de l'équation \(f(x)=x\)  est appelée un point fixe de la fonction \(f\) .